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   Alltagsleben der Ägypter (219)
   Mathematik (31)
  Autor/in  Thema: Mathematik
Sinuhe  
Gast - Themenstarter

  
Re: Mathematik 
« Antwort #15, Datum: 11.05.2002 um 18:58:36 »     

Hy alle zusammen,

Hier muss ich Hemium zustimmen, aber es sollte nicht um irgendwelche Entfernungen gehen, sondern ich wollte einige mathematische Erkenntnisse aus den Pyramidenbau evt. nachvollziehen. Hierbei kam es mir eigentlich auf Winkelmessungen an bzw. wie diese konstruiert worden sind. Wie das Pyramidenquadrat entstand und eingemessen wurde hat ja Hemium auf seiner HP wunderbar beschrieben. Dann erklärt mir mal einer ein anderes Verfahren zur Winkelmessung vor 4500 Jahren. Ich wollte auch, dass man sich hierbei auf diese Zeit beschränkt. Meine Ausführungen oben beschreiben eine relativ einfache Form des Winkelmessens. Ich habe bedacht, dass es zu dieser Zeit noch keinen Zirkel und kein Lineal gab. Das Quadratrix ist mit diesen modernen Hilfsmitteln nicht nachzuvollziehen und daher auch für mich vorstellbar. Beweisen kann es sowieso niemand.
Da ich hier keine Bilder reinbringen kann, werde ich Dir, Hemium, das ganze als E-Mail mal zuschicken. Es wird immerwieder vorkommen, dass wir unterschiedlicher Meinung sind, aber das ist ja auch gut so.

Sinuhe
> Antwort auf Beitrag vom: 11.05.2002 um 12:22:36  Gehe zu Beitrag
Günther  
Gast

  
Re: Mathematik 
« Antwort #16, Datum: 11.05.2002 um 22:10:24 »     

Ein Meßrad heute und ein Wagenrad im alten Ägypten sind zwei grundverschiedene Dinge.
Vor allen war ja die Strecke zwischen Syene und Alexandria nicht schnurgerade, und DIE Korrektur dazu hat der gute Eratosthenes bestenfalls schätzen können.
> Antwort auf Beitrag vom: 11.05.2002 um 12:22:36  Gehe zu Beitrag
Hemiun  
Gast

  
Re: Mathematik 
« Antwort #17, Datum: 12.05.2002 um 12:01:38 »     

Hallo Sinuhe, hallo Zusammen,
Sinuhe, wenn Du mir Bilder zusendest, dann könnte ich sie vielleicht posten? Ich habe hier zwar auch noch keine Bilder gepostet, aber ich denke, das wird funktionieren.

Was das festlegen von Kreisbögen angeht, könnte ich mir eine einfache und praktikabele Lösung für die alten Äypgter vorstellen. Dazu braucht man nur eine lange Latte mit zwei Löchern in dem Abstand des gewünschten Radius. In einem Loch wird ein Bolzen eingelassen, im anderem Loch ein Reisstift. Der Bolzen wird dann im Zentrum des Kreisbogens eingelassen und die Latte mit dem Reiststifft um diesen Bolzen gedreht und so der Kreisbogen angerissen. Wird sehr exakt und ist recht einfach, auf sowas hätten die praktisch denkenden Äygpter durchaus kommen können. Ein Indiez für diese Technik sind die beiden im Felsengrund eingelassenen Löcher an der Nord- Ostecke der Cheops- Pyramide.

Was das messen langer Strecken mit einem Rad anbelangt, so glaube ich, das auch dies eine recht praktische und exakte Messweise ist, die ebenfalls eingesetzt wurde. Wenn man nämlich die Basislängen der Pyramiden mit geflochtenen Bandmassen gemessen hätte, könnten sie nicht besonders exakt sein. ( Ausdehnung durch unterschiedlichen Zug). Eine andere Möglichkeit, längere Strecken zu messsen, bzw. zu konstruieren, ist mittels der faraktalen Geometrie des Quadrates möglich. Die Streckenlängen dürfen sich dabei aber nicht über viele Kilometer erstrecken, sondern nur in einem bestimmten Rahmen. Wie ich meine wurden die drei Pyramiden auf dem Gisa- Plateau nach einem gemeinsamen Raster ausgerichtet, das zuerst auch dem Plateau festgelegt wurde. Lange Geraden konnte man durch Peilung ausrichten. Die Nord_ Südrichtung an Hand der Zircumpolarsterne ausrichten.
So da bin ich nun auf Eure Meinung dazu gespannt.

Viele Grüße
Hemiun
> Antwort auf Beitrag vom: 11.05.2002 um 22:10:24  Gehe zu Beitrag
Hemiun  
Gast

  
Re: Mathematik 
« Antwort #18, Datum: 12.05.2002 um 14:22:29 »     

Hallo zusammen,
ich bins noch mal. Zu der Winkelmessung der Pyramidenbauer möchte ich folgendes Beispiel bringen:
In der Trial Passage. die als Modell für das Gangssytem der Cheops- Pyramide gilt, ist der absteigende Gang Nord- Süd ausgerichtet und mit exakt 26° 33`Neigung aufgefahren worden ( angelegt). Was ist das für ein Winkel der uns da immer wieder an den Pyramiden begegnet?
Wenn man ein Rechteck konstruiert mit einem Seitenverhältnis von 1 : 2, dann hat die Diagonale dieses Rechteckes genau diesen Winkel. Genau sind es 26° 33`54`` . Die Pyramidenbauer kannten dieses Verhältnis von 1 : 2 offensichtlich, weil es auch auf der Hand liegt.Die Länge der Diagonale  hat ein Verhältnis zur kleineren Strecke von 1 : Wurzel 5.
Was bedeutet es aber pracktisch bei der Arbeit an dem Gang.

Wenn sie die Länge des Ganges wußten, kannten sie auch exakt seine Tiefe und die Länge Übertage entlang des Ganges Untertage. Sie wußten also  auch exakt wo sie den Schacht ansetzen mußten um die Strecke Untertage genau an ihren Endpunkt, oder aber auch an jedem anderen beliebigen Punkt treffen würde und wie tief der Schacht sein würde. Das hat große Vorteile beim Bau und war recht einfach zu brechnen.

Andere Winkel wie 30° sind ähnilch gelagert.Wie konnten sie den Neigungswinkel exakt einhalten. Dazu können sie sich ein Rechtwinkeliges Dreieck aus Holz gebaut haben, deren Katheten das Verhältnis von 1 : 2 hatten. Das Dreieck wurde dann mit der Hypothenuse auf den Gangboden gelegt und mit einem Lot die kleinere Kathete nachgeprüft, denn diese mußte dann exakt lotrecht sein. Einfach und gut praktikabel. Die Richtung konnte durch Peilung eingehalten werden. Dazu hängt man drei Lote entlang der Richtunggeraden in einen Abstand sagen wir von 2 Ellen auf. Am Ende der Strecke wird dann eine Markierung in der Mitte des Strecke aufgemalt und beleuchtet. Dann peilt man über die Lote diese Markierung an und bringt sie mit der Geraden der Lotgeraden überein, indem man sie solange ändert bis sie exakt auf der Lotlinie liegt. Auch sehr einfach und wurde bis man Laser dazu einsetze auch bei uns im Bergbau angewendet. ( Der Ausdruck bei den Bergleuten war in die Stunde kucken). Dieses Meßverfahren wird laufend angewendet um die Strercke aufzufahren, also alle paar Zentimeter ( Ellen) Vielleicht jede halbe Elle Vortrieb, so kann man einen Gang genau auf eine Gerade ausgerichtet auffahren.


Bei 30° ist das Verhältnis 1 : Wurzel 3.Die Länge der Diagonale ist dann doppelt so lang wie die kleinere Seite.

Viele Grüße
Hemiun
> Antwort auf Beitrag vom: 12.05.2002 um 12:01:38  Gehe zu Beitrag
Sinuhe  
Gast - Themenstarter

  
Re: Mathematik 
« Antwort #19, Datum: 12.05.2002 um 19:26:34 »     

Hy Hemium,

Du hast da gerade den absteigenden Gang in der Cheopspyramide angesprochen. Dazu habe ich was gelesen. Der absteigende Gang wurde so angelegt, dass er an den Seitenwänden nirgends mehr al 6,3 mm abweicht. An der Decke sind es sogar nur 2,5 mm. Jetzt stellst sich die Frage: Was wurde angepeilt um eine solche Genauigkeit zu erreichen? Vor 4500 Jahren liess sich von diesem Punkt aus der Himmelspolnahe Stern Alpha Draconis beobachten bei einer Neigung im Gang von 26 Grad und 17 Minuten.
Unterhalb der Stelle, wo der gang abzweigt, schüttete man die Stelle mit besonders harten und wasserdichten Gestein zu und goss Wasser darauf. Jetzt konnte der Stern bei den arbeiten des aufsteigenden Ganges beobachtet werden.

Gruss Sinuhe
> Antwort auf Beitrag vom: 12.05.2002 um 14:22:29  Gehe zu Beitrag
Hemiun  
Gast

  
Re: Mathematik 
« Antwort #20, Datum: 12.05.2002 um 21:07:41 »     

Hallo Sinuhe,
ich habe bei meinem Post mehr den absteigenden Gang in der Trial Passage im Auge gehabt. Der absteigende Gang in der Cheops- Pyramide selbst, ist natürlich mit dem gleichen Neigungswinkel angelegt worden. Ich hatte schon angeführt, das die Nord- Südrichtung mittels der Circumpolarsterne gepeilt werden konnte. Beim Vortrieb des Ganges mußte man allerdings in die andere Richtung, also abwärts peilen. Da wird man sicher das von mir beschriebene Verfahren ( Stunde kucken wie der Bergmann sagt ) angewendet haben. Interessant ist der Neigungswinkel deshalb, weil man sehr einfach aus der Länge des Ganges auf seine Teufe schließen kann und auch wo der Verlauf Übertage ist. Das ist wichtig wenn man einen Schacht, wie es in der Trial Passage der Fall ist, auf den Gang abteufen will.
Wenn ich damals Hem Junu gewesen wäre hätte ich auch die Trial Passage anlegen lassen. Warum?
1. Als Modell
2. Zur Erprobung der verschiedenen Arbeitstechniken.
3. Zur Ausbildung der Mannschaft.

Viele Grüße
> Antwort auf Beitrag vom: 12.05.2002 um 19:26:34  Gehe zu Beitrag
Sinuhe  
Gast - Themenstarter

  
Re: Mathematik 
« Antwort #21, Datum: 14.05.2002 um 21:17:11 »     

Hy Hemium,

weist Du, ich habe gelesen, dass sich die alten Ägypter schwer taten von ihren Rechenoperationen eine theoretische Probe anzustellen. Sie konnten diese nur durch das materiell umgesetzte beweisen. Also musste jeder Bau auch zur Bestätigung des Wissensstandes herhalten. ich weiss nicht ob ich mich da jetzt irre. Aber das werde ich ja bald hier lesen können. Nach der alten Mathematik sollte man meinen, dass man unter Umständen froh war das richtige Ergebnis rauszuhaben, und da wurde das Ergebnis einfach in die Tat umgesetzt.
Soviel erstmal dazu.
Gruss Sinuhe
> Antwort auf Beitrag vom: 12.05.2002 um 21:07:41  Gehe zu Beitrag
Hemiun  
Gast

  
Re: Mathematik 
« Antwort #22, Datum: 15.05.2002 um 11:02:04 »     

Hallo Sinuhe,
da könntest Du recht haben. Die alten Ägypter rechneten viel über Tabellen. Sie benutzten zur Multiplikation Tabellen mit Zweierpotenzen. Ich denke , da die Ägypter praktisch denkende Menschen waren, haben sie ihre Berechnungen auch praktrisch erprobt. Ein Beispiel dafür wird die schon erwähnte Trial Passage auf der Ostseite der Cheops- Pyramide sein. Auch ist ja eine Differenz zwischen Praksis und Theorie, das ist heute ja auch nicht anders.
Weiter meine ich, das sie viele Berechnungen geometrisch kontrollieren konnten.
Ein Beispiel ist der Querschnitt des kleinen Schachtes der Trial Passage. Er hat fast exakt 1,4142136... Ellen, also 1 mal Wurzel 2. Sie können das erst berechnet haben, denn wurzelziehen konnten die Ägypter schon, und dann geometrisch ausgeführt haben. Es ist darüberhinaus die Frage, warum hat der Schacht einen quadratischen Querschnitt und warum genau 1 mal Wurzel 2? Der Schacht ist 8 Ellen tief, warum ? Wenn man sich einmal eine Tabelle mit Wurzel 2 bildet ergibt das folgendes:
1             1,4142136
2             2,00
3             2,8284271
4             4,00
5             5,6568543
6             8,00
Ist hier die Vergrößerung, bzw. Verkleinerung des Quadrates
über seine Diagonalen und den Innen, oder Außenkreis dagestellt?

Viele Grüße
Hemiun
> Antwort auf Beitrag vom: 14.05.2002 um 21:17:11  Gehe zu Beitrag
Sinuhe  
Gast - Themenstarter

  
Re: Mathematik 
« Antwort #23, Datum: 16.05.2002 um 21:08:56 »     

Hallo Hemium,

wenn das damit möglich war, ich meine die Vergrößerung oder Verkleinerung des Quadrates, dann funktioniert das Quadratrix ebendso. denn das Prinzip ist ja das Gleiche. Durch verschieben der Gerade DC war dann jeder Winkel möglich. Das konnten sie nachweisbar berechnen bzw. Konstruieren.
Nochmal auf Deine Quadratur des Kreises zurückzukommen.Es gibt zu einem gegebenen Kreis ein größeres Quadrat, nämlich das umbeschriebene, und ein kleineres Quadrat, das einbeschriebene,also gibt es auch ein Gleiches.Dabei spielt ein Stetigkeitsprinzip ( Zwischenwertsatz). Aber auch dieser Satz musste durch eine Konstruktion bewiesen werden.
Es wurde auch bewiesen, das die Fläche eines Kreises gleich dem halben Produkt aus Radius und Umfang ist. Damit wurde die quadratur des Kreises gelöst.

Warum der Schacht 8 Ellen tief ist,kann ich Dir auch nicht sagen, aber es wird uns was einfallen.

Sinuhe



> Antwort auf Beitrag vom: 15.05.2002 um 11:02:04  Gehe zu Beitrag
Hemiun  
Gast

  
Re: Mathematik 
« Antwort #24, Datum: 17.05.2002 um 14:01:00 »     

Hallo Sinuhe,
Ich habe anfangs meine Geometrie, bzw. die Geometrie die ich aus den Pyramiden ableiten konnte mit " Quadratur" bezeichnet. Ich bin aber jetzt davon abgegangen und benennne sie " fraktale Geometrie der alten Ägypter" das ist wie ich meine treffender. Die Quadratur des Kreises ist etwas ganz anderes. Es geht bei der fraktalen Geometrie darum, dass man ein Quadrat und auch einen Würfel schrittweise systematisch verkleinern oder auch vergrößern kann. Dazu gibt es mehrere geomertrische Konstruktionen. Schau mal auf meien Seite unter fraktale Geometrie.
Warum der Schacht 8 Ellen tief gebaut wurde hat mehrere geometrische Ursachen, meine ich. Eine ist der Neigungswinkel des Nord- Südganges von 26° 33`, im Zusammenhang mit dem
2. Verknüpfungsfall zweier Quadrate. Habe ich auch unter fraktale Geometrie behandelt. Die Rechtecke die sich bei diesem Fall bilden, haben eine Diagonale die exakt 26° 33`54´´1 Neigung sowie 63° 26´05´´ 8 haben. Die Seiten dieser Rechtecke haben ein Verhältnis von 1 : 2, die Diagonale ist ein Produkt aus a mal Wurzel 5. a = Seite des kleineren Quadrates.
Animation
Kann es sein das Du mit Qaudratix das gleiche meinst? So ganz habe ich Dich da noch nicht verstanden.
Viele Grüße
Hemiun
> Antwort auf Beitrag vom: 16.05.2002 um 21:08:56  Gehe zu Beitrag
Sinuhe  
Gast - Themenstarter

  
Re: Mathematik 
« Antwort #25, Datum: 18.05.2002 um 20:37:13 »     

Hallo Hemium,

ich habe mir Deine Ausführungen nochmal genau durchgelesen.
Man kann mit meiner angegebenen Methode einen Winkel von 45 Grad konstruieren. Warum also nicht auch ein Quadrat. Mir sollte es aber darum gehen, wie der Steigungswinkel festgelegt wurde. r durch h an der Pyramide ergibt 0,7876 m.
Überträgt man das Maß auf ein Quadrat ergibt sich der Steigungswinkel der 4 Ecken. Ich geh da garnicht so modern ran, an die Mathematik. Das Wissen hatten sie nicht vor 4500 Jahren. Der Rücksprung ist meines erachtens nach auch zu modern gewesen. Ich schicke Dir gleich morgen meine grafischen Erkenntnisse per E-Mail. Da kann man es besser sehen wie ich an die Sache rangehe. Da zur alten Zeit auch sehr viel mit den Abacus gerechnet wurde, käme zur rechten Winkel suche auch das Zahlentipel in betracht. Alles sehr primitive Rechenverfahren, aber wirkungsvoll.

Sinuhe
> Antwort auf Beitrag vom: 17.05.2002 um 14:01:00  Gehe zu Beitrag
Sinuhe  
Gast - Themenstarter

  
Re: Mathematik 
« Antwort #26, Datum: 25.05.2002 um 20:50:39 »     

hallo Hemium,
sorry, dass ich noch nichts geschickt habe aber diese Woche war mit arbeit eine Katastrophe. Täglich 12 Stunden und mehr. Habe Dich nicht vergessen. Sowie ich Zeit habe geht es los.
Nochmals sorry
Sinuhe
> Antwort auf Beitrag vom: 18.05.2002 um 20:37:13  Gehe zu Beitrag
Hemiun  
Gast

  
Re: Mathematik 
« Antwort #27, Datum: 26.05.2002 um 10:46:12 »     

Hallo Sinuhe,
hab mich schon gewundert,das nichts kommt. Arbeit geht natürlich vor. Was machst Du denn beruflich?

Viele Grüße
Hemiun
> Antwort auf Beitrag vom: 25.05.2002 um 20:50:39  Gehe zu Beitrag
Gitta  
Gast

  
Re: Mathematik 
« Antwort #28, Datum: 29.05.2002 um 23:16:10 »     

Zur Abwechslung mal keine mathematischen Verrenkungen (für die ich sowieso kein Talent habe), sonder nur der Hinweis auf einen News-Beitrag über eine Theorie von Graefe von der Uni Münster zum Pyramidenbau:

http://www.aegyptologie.com/forum/cgi-bin/YaBB/YaBB.pl?action=newsshow&ntag=020529230952

> Antwort auf Beitrag vom: 26.05.2002 um 10:46:12  Gehe zu Beitrag
Hem iunu  
Gast

  
Re: Mathematik 
« Antwort #29, Datum: 04.10.2002 um 15:11:35 »     

Hallo Sinuhe,
dann können wir hier nun ja weiter diskutieren. Freu mich schon drauf, natürlich auf alle Anderen auch.

Viele Grüße
Hemiun
> Antwort auf Beitrag vom: 29.05.2002 um 23:16:10  Gehe zu Beitrag
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